Tema 4: Monotonía de una función

Monotonía (crecimiento-decrecimiento) de una función

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

Una función real  es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo  y $x\textsc{\char13}$ , con $x < x\textsc{\char13}$ , se tiene que: $f(x) \leq f(x\textsc{\char13})$
Una función real  es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo  y $x\textsc{\char13}$ , con $x < x\textsc{\char13}$ , se tiene que: $f(x) \geq f(x\textsc{\char13})$
Una función real  es constante en un intervalo si para cualquier valor  del intervalo , se tiene que:  (constante)

Teorema

Si $f\textsc{\char13}(x_0)>0 \Longrightarrow f$ es creciente en
Si $f\textsc{\char13}(x_0)<0 \Longrightarrow f$ es decreciente en

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento

1) Calculamos $f\textsc{\char13}(x)$
2) Resolvemos la ecuación $f\textsc{\char13}(x)=0$
3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

4) Estudiamos el signo de $f\textsc{\char13}(x)$ en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto del intervalo y comprobamos si $f\textsc{\char13}(x_0)$ es positivo o negativo.

Si es positivo, la función es creciente en ese intervalo
Si es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

Ver ejemplo resuelto