Tema 10: Clasificación de conjuntos. Representación

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¿Qué es un conjunto?

Para que puedas entender el maravilloso mundo de las matemáticas, deberás empezar desde lo más básico, el principio de todo: Los conjuntos.

Antes de que el hombre entendiera el concepto de número, debió comprender de dónde salían y qué representaban. Por lo tanto, la idea de número sigue a la comprensión de los conjuntos. ¿Has coleccionado fichas, juguetes o láminas para un álbum? Imagina que los conjuntos son exactamente eso, una colección de objetos que pueden clasificarse gracias a las características que tienen común (fichas, láminas, etc).

Un requisito clave para que una agrupación de objetos pueda ser llamada conjunto, es que se pueda determinar si un objeto especifico pertenece o no a él. Por ejemplo, la agrupación de cosas bonitas no es un conjunto ya que habrá cosas que para algunos son bonitas pero para otros no.

Un elemento es… A los objetos que conforman los conjuntos los llamamos elementos.

Si pensamos en el conjunto de los planetas del sistema solar, los elementos de este conjunto serán precisamente Mercurio, Venus, La tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.

Representación gráfica de los conjuntos, diagramas de Venn

Para representar los conjuntos gráficamente, se pueden usar los diagramas de Venn. Este método consiste en representar los conjuntos por medio de círculos y dibujar en su interior los elementos que lo conforman.

Por ejemplo, si el conjunto $A$ está conformado por los elementos $1$ , $2$ y $3$ podemos representarlo como se muestra en la figura.

Si dos o más conjuntos comparten elementos también es posible usar diagramas de Venn para representar esa situación.

Conjunto A conformado por los elementos 1, 2, 3.

Supongamos que el conjunto

M

está conformado por las letras

m

n

p

t

, y que el conjunto

P

está conformado por las letras

n

p

q

s

. Como puedes ver los conjuntos

M

P

comparten los elementos

n

p

, se pueden representar de la siguiente manera:

Representación de conjuntos que comparten elementos

Notación para describir y definir conjuntos

Como acabas de ver es posible representar gráficamente los conjuntos a través de diagramas de Venn. Para trabajar con ellos es necesario poder representarlos también con el lenguaje propio de la matemática.

Se usan los corchetes ${}$ para representar y definir conjuntos. En el interior de los corchetes se ubican los elementos que conforman el conjunto separados por comas. Esta representación escrita es equivalente a la representación gráfica de diagramas de Venn.

Si por ejemplo se quiere definir el conjunto $F$ como el conformado por los elementos $1,$ $p,$ $z,$ y $3$ se puede representar de las siguientes formas:

Representación gráfica y analítica del conjunto F.

Descripción de conjuntos por extensión

Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por extensión. Definamos $Q$ como el conjunto conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto $Q$ por extensión así:

$Q = {r o j o, n a r a n j a, a m a r i l l o, v e r d e, a z u l, ´ ı n d i g o, v i o l e t a}$

Si un conjunto tiene muchos elementos puedes hacer uso de los puntos suspensivos para describir el conjunto por extensión. Si el conjunto $W$ está conformado por los cien primeros números, puedes representarlo de la siguiente manera:

$W = {1, 2, 3, ..., 98, 99, 100}$

En este caso no se muestran los cien elementos que conforman el conjunto. Sin embargo, los puntos suspensivos representan todos los elementos que, por comodidad, no hemos escrito.

Descripción de conjuntos por comprensión

En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada cantidad de elementos y la descripción por extensión resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los conjuntos mencionando las características que comparten los elementos que los conforman. Por ejemplo, si

C

es el conjunto conformado por todos los países del mundo se puede escribir:

$C = {x | x e s u n p a ´ ı s}$

En donde la barra | se lee como “tales que”. Así, la anterior expresión se lee: “ $C$ es el conjunto de los $x$ , tales que $x$ es un país”. En este caso el símbolo $x$ es usado simplemente para representar los elementos del conjunto $C$ .

Conectivos

En algunas ocasiones los elementos que conforman un conjunto deben satisfacer más de una condición, o una de varias. En tales casos se usan los conectivos disyunción y conjunción.

La disyunción

Observa el siguiente ejemplo: Sea $A = {a | a e s u n a n i m a l m a m \overset{´}{ı} f e r o v o l a d o r} .$ En esta ocasión hay dos condiciones para los animales que conforman el conjunto $A :$ ser mamífero o volar. La disyunción es la letra “o” que las conecta y esta significa que los elementos que conformen el conjunto deben satisfacer alguna de las dos condiciones o ambas.

Para este caso, por ejemplo, la abeja cumple la condición de volar, por lo que debe pertenecer al conjunto. El gato por su parte cumple la condición de ser mamífero, por lo que también debe pertenecer a $A .$ El murciélago cumple las dos condiciones, ya que es un mamífero que vuela, así que también pertenece a $A .$

La conjunción

Definamos el conjunto $P$ así: sea $P = {p | p e s u n n \overset{´}{u} m e r o m a y o r q u e c e r o y m e n o r q u e c e r o}$ En este caso también hay dos condiciones pero están unidas por la conjunción “y”. Esto significa que los elementos que pertenezcan al conjunto deben cumplir las dos condiciones simultáneamente.

Como no hay números que satisfagan las dos condiciones a la vez, se concluye que el conjunto $P$ no tiene elementos.

También es posible combinar los anteriores conectivos para establecer las condiciones que deben cumplir los elementos de un determinado conjunto. Por ejemplo: sea $K = {k | k e s u n n \overset{´}{u} m e r o m a y o r o i g u a l q u e 4 y m e n o r q u e 8} .$

Como te puedes dar cuenta, en la definición de los elementos del conjunto $K$ hay dos condiciones: “ser mayor o igual que 4” y “ser menor que 8”, como estas condiciones están unidas por un “y” se deben cumplir ambas. Entre tanto la condición “ser mayor o igual que 4” esta compuesta por dos condiciones unidas por una disyunción, lo que significa que la cumplirán los números que sean mayores que $4$ o iguales a $4 .$

En el siguiente diagrama de Venn puedes ver la representación de los anteriores conjuntos $K$ y $P,$ y el conjunto $L = {l | l e s m a y o r o i g u a l q u e 1 y m e n o r q u e 5} :$

Clases de conjuntos

Existen varios tipos de conjuntos que se destacan por sus características especiales. Conocerlos te ayudará a comprender mejor la estructura y el mundo de los conjuntos.

Conjunto Universal

Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los elementos que lo conforman. Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra $U$ para representar el conjunto universal.

Por ejemplo, si quieres definir $B$ como el conjunto conformado por las vocales $a$ e $i,$ el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto $B$ y su conjunto universal $U .$

Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más.

Conjunto vacío

Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.

Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de la derecha.

También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.

Conjuntos unitarios

El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento. No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.

Distintas representaciones del conjunto unitario A

Conjuntos finitos

Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee. Unconjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman.

Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27 letras. En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos. Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos.

Conjuntos infinitos

No es fácil encontrar en la naturaleza ejemplos de este tipo de conjuntos. Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen. El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por . Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del conjunto y los estaremos determinando a todos. Considera el conjunto de los números que terminan en tres, podríamos definirlo así: Sea

T = {x | x e s n \overset{´}{u} m e r o y t e r m i n a e n t r e s} .

También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por extensión. Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto $T$ , definido en el párrafo anterior y conformado por los números que terminan en tres, se tiene $T = {3, 13, 23, 33, 43, 53, ...}$ .

Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos los encontramos en los números. ¿Cuántos números pares hay? ¿cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.

Representación de los conjuntos infinitos

No debes confundir los conjuntos infinitos con conjuntos finitos que tienen una gran cantidad de elementos. Por ejemplo, ¿consideras el conjunto de todos los granos de arena en el planeta Tierra, un conjunto infinito? En este caso, aunque el conjunto tenga una gran cantidad de elementos debe existir un número que la represente, así sea muy grande.

¿Es el conjunto de granos de arena en el planeta Tierra infinito?

Conjuntos coordinables o equipotentes

Cuando hablamos de conjuntos coordinables comparamos conjuntos y establecemos relaciones entre ellos. Mira de qué se trata este concepto.

Conjuntos Coordinables o equipotentes

Se dice que dosconjuntos son coordinables o equipotentes cuando están formados por el mismo número de Para que tengas un ejemplo, supón que en una fiesta de cumpleaños existen la misma cantidad de copas de vino como de invitados:

La manera correcta de establecer si dos conjuntos son coordinables o no, es estableciendo una relación entre sus elementos. Esta relación debe tener unas características especiales que te explicamos a continuación:

Relaciones uno a uno

Imagina que tenemos dos conjuntos:

A

B

. Establecer una relación entre ellos es relacionar los elementos del conjunto

A

con los elementos del conjunto

B

, observa las siguientes condiciones:

Cada elemento del conjunto $A$ debe estar relacionado con un único elemento del conjunto $B$ .
Cada elemento del conjunto $B$ debe estar relacionado con un único elemento del conjunto $A$ .

Si una relación entre conjuntos cumple estas condiciones es llamada relación uno a uno. En la imagen anterior por ejemplo cada invitado está relacionado con una única copa, y cada copa está relacionada con un único invitado.

Cuando es posible establecer una relación uno a uno entre los conjuntos $A$ y $B$ , decimos que $A$ es coordinable con $B$ o que $A$ es equipotente a $B$ . En caso contrario decimos que no son coordinables o que no son equipotentes.

Debes tener claro que la coordinabilidad no es una característica de un conjunto, sino una relación entre dos conjuntos. Por ejemplo, está mal decir que el conjunto

P

es coordinable. Una expresión adecuada sería: los conjuntos

R

S

son coordinables.

Observa que si los conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos no son coordinables: imagina que ahora ha llegado a la fiesta una persona de improvisto. Podemos establecer la siguiente correspondencia entre los conjuntos:

Como te puedes dar cuenta, la primera condición no se cumplió, pues cada elemento del conjunto invitados debe estar relacionado con un único elemento del conjunto copas. En este caso eso no cierto, ya que existe una persona que no está relacionada con ninguna copa. Los conjuntos no son coordinables ahora.

Si tratamos de arreglar las cosas relacionando la persona que acaba de llegar con unas de las copas obtendremos la siguiente relación.

Nota que ahora la condición que no se cumple es la segunda, ya que cada elemento del conjunto copas, debe estar relacionado con un único elemento del conjunto invitados y en este caso eso no es cierto, pues hay una copa que está relacionada con dos personas.

Relaciones entre conjuntos y elementos

Para comprender las relaciones entre los conjuntos, debes comprender primero como se relacionan estos con los elementos

Relación de pertenencia

Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementosque lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto.

Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Venn dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto. Ahora aprenderás a representar esta relación por medio de símbolos matemáticos.

Se usa el símbolo que se muestra en la figura de la izquierda como el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de la derecha. Veamos como debe ser usado este símbolo:

Símbolos de pertenece a y no pertenece a.

En el ejemplo de abajo puedes ver el conjunto unitario $E$ , el cual está conformado por el elemento $1$ . Los símbolos del lado derecho representan de forma escrita lo mismo que el diagrama de Venn.

Representación de la pertenencia de un elemento.

La expresión $1 \in E$ debe ser leída como “ $1$ pertenece a $E$ ” o “ $1$ está en $E$ ”. Puedes apreciar también que $a$ no está en el conjunto $E$ , la expresión $a \notin E$ debe leerse como “ $a$ no pertenece a $E$ ” o “ $a$ no está en $E$ ”.

Mira este otro ejemplo, en la imagen de la derecha se muestra el conjunto

D

conformado por los elementos

c

d

a

. Para decir que estos elementos pertenecen al conjunto

D

, usaremos la siguiente expresión: “

c, d, a \in D

”, que se lee: “

c

d

a

pertenecen a

D

”. ¿Ves que los elementos

1

2

3

no están en el conjunto

D

? Para representar esta situación puedes usar la expresión: “

1, 2, 3 \notin D

”, que se lee como “

1

2

3

no pertenecen a

D

”.

Representación de la pertenencia de varios elementos.

Relación de contenencia

Existen distintos dos tipos de relaciones entre conjuntos. En esta lección aprenderás la de contenencia.

Relación de contenencia y subconjuntos

Definamos como

F

G

los conjuntos que se muestran en el siguiente :

Cada elemento de G es también elemento de F.

Como te puedes dar cuenta, cada elemento que pertenece al conjunto $G$ , pertenece también al conjunto $F$ . Cuando se da esta situación decimos que un conjunto estácontenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.

En este caso $G$ está contenido en $F$ , o lo que es igual, $G$ es subconjunto de $F$ .

La manera correcta de representar la relación de contenencia es dibujar un conjunto dentro del otro. Para el caso de los conjuntos

F

G

definidos anteriormente, la representación correcta es como se muestra en la figura de abajo.

Representación correcta de la contenencia de conjuntos.

También es posible representar de forma escrita la relación de contenencia entre conjuntos.

Se usa el símbolo que se muestra en la figura de la izquierda como el símbolo de la contenencia. Si queremos representar la no contenencia de conjuntos usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la figura de la derecha.

Definamos los conjuntos $H = {a, c, e}$ , $I = {a, e}$ y $J = {c, e, h}$ . ¿Crees que existe alguna relación de contenencia entre estos conjuntos?

Fíjate bien, recuerda que un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus elementos pertenece también al otro conjunto. En este caso cada elemento del conjunto $I$ pertenece también al conjunto $H$ , decimos entonces que

I

está contenidoen

H

, o que

I

es subconjunto de

H

¿Crees que el conjunto

J

está contenido en el conjunto

H

? Si observas con atención, notarás que hay un elemento de $J$ que no está en $H$ . Es decir, no se cumple la condición que cada elemento de

J

esté también en

H

. Se puede asegurar entonces que

J

no está contenido en

H

, o lo que es igual, que

J

no es subconjunto de

H

Para representar estas relaciones a través del símbolo de contenencia se escribe de la manera que puedes ver en la figura de la derecha. Estas expresiones se leen así: “

I

está contenido en

H

”, o “

I

es subconjunto de

H

”, y “

J

no está contenido en

H

”, o “

J

no es subconjunto de

H

”.

Representación de la contenencia y no contenencia de conjuntos.

Es importante aprender a representar gráficamente la relación de contenencia entre conjuntos. Para el caso de nuestros conjuntos

I

J

H

, se pueden representar de la siguiente manera:

Representación gráfica de la contenencia y no contenencia de conjuntos.

Relación de igualdad

Veremos ahora en que condiciones podemos decir que dos conjuntos son iguales, esto lo haremos a través de la relación de igualdad entre conjuntos.

Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos. Resultaría igual escribir por ejemplo ${p, q, r, q, s, r, p}$ que ${r, s, p, q}$ o que ${p, r, q, s}$ , es decir: ${p, q, r, q, s, r, p} = {r, s, p, q} = {p, r, q, s}$ .

Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo $\neq$ . De esta manera la expresión $A \neq B$ debe ser leída como “ $A$ es diferente a $B$ ”, o “ $A$ y $B$ no son iguales”.

Operaciones entre conjuntos

Además de relacionar los conjuntos a través de la y la , podemos crear unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos. Aquí aprenderás de que se trata.

Unión de conjuntos

Supongamos que tenemos los

M

N

definidos como se muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los que pertenezcan a

M

N

. A este nuevo conjunto le llamamos unión de

M

N

, y lo notamos de la siguiente manera:

M \cup N

. En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos

M

N

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos $M$ y $N$ , debes preguntarte cuáles están en el conjunto $M$ “o” en el conjunto $N$ . El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal $U$ , que cumplan la condición de estar en uno o en otro.

Tenemos en este caso: $M \cup N = {a, c, b, g, e, 1} .$

Intersección de conjuntos

Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos

M

N

definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos $M$ y $N$ tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de

M

N

y lo notamos de la siguiente manera:

M \cap N

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos

M

N

te puedes preguntar qué elementos están en $M$ “y” en $N$ . Todos los elementos del conjunto

U

que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto

M \cap N

. En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos

M

N

, tenemos que

M \cap N = {b}

Diferencia de conjuntos

Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.

En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación

M

menos

N

, debes seleccionar los elementos de $M$ que no están en $N$ . Representamos la diferencia M menos N así:

M \ N

. Observa que en este caso

M \ N = {a, c}

Diferencia M menos N.

Diferencia simétrica de conjuntos

Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla.

Diferencia simétrica entre M y N.

En esta ocasión se deben escoger los elementos de $M$ que no están en $N$ , y los elementos de $N$ que no están en $M$ . Puedes ver el resultado de la diferencia simétricaentre

M

N

en la figura de la izquierda. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo

Δ

. En el caso de nuestros conjuntos

M

N

tenemos:

M Δ N = {a, c, g, 1, e}

Complemento de un conjunto

La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de $M$ es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal $U$ , que no pertenecen al conjunto $M$ . Es común usar los símbolos

M^{c}

\bar{M}

M'

para representar el complemento del conjunto

M

, nosotros usaremos el símbolo

M^{c}

. En nuestro caso tenemos

M^{c} = {j, f, g, 1, e, i, h}

N^{c} = {i, h, j, f, a, c}

Problemas que se pueden resolver con conjuntos

Solo hay una opción: a la región que gusta de los dos helados, es decir la intersección de los conjuntos

F

C .

Completamos la información.

Podemos entonces responder todas las preguntas hechas inicialmente: a $15$ niños les gustan los dos helados, en total a $25$ les gusta el helado de fresa y a $20$ les gusta el helado de chocolate.

Una última pregunta: ¿a cuántos estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate?

Recuerda que la unión de conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a uno u otro, por lo tanto la respuesta es la cantidad de estudiantes de la unión $F \cup C .$ Esto quiere decir que a $30$ estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate.

¿Qué es un conunto?. (s/f). GCF Aprende Libre. Recuperado de https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/5.do